Incenter — The Center of the Inscribed Circle
Every triangle hosts another magical point — inside, this time, always.
지난 차시에서 우리는 외심을 만났습니다. 세 변의 수직이등분선이 만나는 점, 세 꼭짓점에서 같은 거리. 이번에는 세 각으로 눈을 돌립니다.
임의의 삼각형의 세 각의 이등분선을 그어보면 — 놀랍게도 — 한 점에서 정확히 만납니다. 이 점이 내심(incenter). 외심이 변에 관해 균형 잡힌 점이라면, 내심은 각에 관해 균형 잡힌 점입니다.
내심에서 세 변까지의 거리가 모두 같습니다 — 그 거리를 반지름으로 한 원이 삼각형의 세 변에 접하는 내접원. 모든 삼각형은 단 하나의 내접원을 갖고, 내심은 항상 삼각형 내부에 있습니다.
Where the three angle bisectors meet — and the famous formula.
삼각형의 세 각의 이등분선이 만나는 점을 내심(incenter)이라 하고, 보통 $I$로 나타냅니다. 내심을 중심으로 세 변에 접하는 원을 내접원이라 하며, 내심에서 세 변까지의 거리가 내접원의 반지름 $r$입니다.
따라서 세 각의 이등분선은 반드시 한 점 $I$에서 만난다. Q.E.D.
내심 $I$를 향한 두 각의 이등분선이 만든 $\angle BIC$를 꼭지각 $\angle A$로 표현할 수 있습니다.
증명: $\triangle IBC$에서 내각의 합 $= 180°$. $\angle IBC = \dfrac{\angle B}{2}$, $\angle ICB = \dfrac{\angle C}{2}$이므로 $\angle BIC = 180° - \dfrac{\angle B + \angle C}{2} = 180° - \dfrac{180° - \angle A}{2} = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$. Q.E.D.
삼각형의 넓이를 내접원 반지름 $r$과 둘레의 절반 $s$(반둘레)로 표현할 수 있습니다.
증명 개요: 내심 $I$로부터 세 꼭짓점을 잇는 선분이 $\triangle ABC$를 세 개의 작은 삼각형 $\triangle IBC, \triangle ICA, \triangle IAB$로 나눈다. 각 작은 삼각형의 높이는 $r$, 밑변은 $a, b, c$. 넓이 = $\dfrac{1}{2}(ar + br + cr) = \dfrac{1}{2}r(a+b+c) = r \cdot s$.
Side by side — the two great centers of a triangle.
정의 세 변의 수직이등분선의 교점
균등 거리 세 꼭짓점까지 같다
기하 원 외접원 (꼭짓점 지남)
위치 예각 내부 / 직각 빗변 중점 / 둔각 외부
정의 세 각의 이등분선의 교점
균등 거리 세 변까지 같다
기하 원 내접원 (세 변에 접함)
위치 항상 내부
Step through the construction of the incenter.
Five quick checks on the incenter.
Using the incenter properties.
$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2} = 90° + \dfrac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°$.
직각삼각형이므로 두 다리 $5, 12$가 직각변. 넓이 $= \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$.
$s = \dfrac{5 + 12 + 13}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$.
넓이 $= r \cdot s$이므로 $r = \dfrac{\text{넓이}}{s} = \dfrac{30}{15} = 2$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
내심은 세 각의 이등분선이 만나는 한 점. 세 변에서 같은 거리에 있으므로 그 거리가 곧 내접원의 반지름 $r$. 삼각형의 넓이는 $rs$로 우아하게 표현되며, $\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$.